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第一章　函数与极限1

1 函数1

1.1　函数的概念1

1.2　具有某些特性的函数7

习题1-111

2　数列极限14

2.1　数列极限的概念14

2.2　收敛数列的性质20

2.3　数列极限存在的准则23

2.4　数列极限存在的准则（续）29

习题1-232

3 函数极限34

3.1　函数极限的概念34

3.2　函数极限的性质38

3.3　函数极限存在的准则40

3.4 函数极限存在的准则（续）42

3.5　无穷小量、无穷大量、阶的比较44

3.6　两个重要极限47

3.7　极限在经济中的应用51

习题1-354

4　函数的连续性57

4.1　函数连续的概念57

4.2　连续函数的局部性质60

4.3　闭区间上连续函数的性质62

4.4　初等函数在其定义域区间上的连续性64

4.5　闭区间上连续函数性质的证明67

4.6　一致连续70

习题1-473

第一章综合题74

第二章　导数与微分76

1 导数76

1.1　导数的概念76

1.2　导数的基本公式与运算法则81

1.3　隐函数的导数90

1.4　高阶导数93

1.5　导数在实际中的应用98

习题2-1100

2　微分105

2.1　微分的概念105

2.2　微分的基本性质108

2.3　近似计算与误差估计113

2.4　高阶微分114

习题2-2115

第二章综合题116

第三章　微分中值定理及导数的应用118

1　微分中值定理118

1.1　费马定理、最大（小）值118

1.2　罗尔定理121

1.3　拉格朗日定理、函数的单调区间122

1.4　柯西定理125

1.5　函数的单调区间与极值127

习题3-1131

2　未定式的极限133

2.1　0/0型未定式的极限133

2.2　∞／∞型未定式的极限136

2.3　其他类型未定式的极限138

习题3-2141

3　泰勒定理及应用142

3.1　泰勒定理142

3.2　几个常用函数的麦克劳林公式145

3.3　带有佩亚诺余项的泰勒公式147

3.4　泰勒公式的应用149

习题3-3152

4　数学建模（一）153

习题3-4159

5 函数图形的凹凸性与拐点159

习题3-5163

6　函数图形的描绘163

6.1 曲线的渐近线163

6.2　函数图形的描绘164

习题3-6166

7　导数在经济中的应用167

7.1　经济中常用的一些函数167

7.2　边际分析169

7.3　弹性分析171

习题3-7175

8 曲率177

8.1 曲率177

8.2　曲率圆180

习题3-8182

9　方程的近似根182

9.1 图解法183

9.2　数值法183

习题3-9189

第三章综合题190

第四章　不定积分191

1　不定积分的概念191

1.1　原函数与不定积分191

1.2　基本积分192

1.3　不定积分的性质193

习题4-1195

2　不定积分的几种基本方法195

2.1　凑微分法（第一换元法）195

2.2　变量代换法（第二换元法）198

2.3　分部积分法202

习题4-2205

3　某些特殊类型函数的不定积分207

3.1　有理函数的不定积分207

3.2　三角函数有理式的不定积分213

3.3　某些无理函数的不定积分217

习题4-3221

第四章综合题222

第五章　定积分及其应用224

1　定积分概念224

1.1　定积分的定义224

1.2　可积函数类229

习题5-1231

2　定积分的性质和基本定理231

2.1　定积分的基本性质232

2.2　微积分学基本定理236

习题5-2239

3　定积分的计算方法241

3.1　几种基本的定积分计算方法241

3.2　几种简化的定积分计算方法245

习题5-3250

4　定积分的应用252

4.1　平面图形的面积252

4.2　立体及旋转体的体积256

4.3　微元法及应用258

4.4　定积分在物理中的应用267

4.5　定积分在经济中的应用272

习题5-4274

5　反常积分276

5.1　无穷区间上的反常积分277

5.2　无界函数的反常积分279

5.3　反常积分收敛性的判别法282

5.4　Г函数289

习题5-5290

6　定积分的近似计算292

6.1　矩形法292

6.2　梯形法293

6.3　抛物线法293

习题5-6295

第五章综合题296

第六章　常微分方程298

1 基本概念298

习题6-1302

2　可分离变量方程303

2.1 可分离变量方程303

2.2　齐次微分方程306

习题6-2309

3　一阶线性微分方程309

3.1　一阶线性微分方程309

3.2　伯努利方程314

习题6-3315

4　全微分方程316

习题6-4318

5　可降阶的二阶微分方程318

5.1　d2y/dx2=f（x）型微分方程318

5.2　d2y/dx2=f（x,dy/dx）微分方程319

5.3　d2y/dx2=f（y,dy/dx）型微分方程322

习题6-5323

6　二阶线性微分方程解的结构323

习题6-6327

7　二阶常系数线性微分方程的解法328

7.1　二阶常系数线性齐次方程及其解法328

7.2　二阶常系数线性非齐次方程的解法331

7.3　欧拉方程340

习题6-7341

8　常系数线性微分方程组342

习题6-8344

9　二阶变系数线性微分方程的一般解法344

9.1　降阶法344

9.2　常数变易法346

习题6-9348

10　数学建模（二）——微分方程在几何、物理中的应用举例349

11　差分方程355

11.1　差分方程的基本概念355

11.2　一阶线性差分方程357

11.3　二阶常系数线性差分方程361

习题6-11364

第六章综合题364

附录Ⅰ 基本初等函数与极坐标方程的图形366

附录Ⅱ 线性空间与映射371

附录Ⅲ 可积函数类的证明376

附录Ⅳ　积分表382

习题答案390