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第1章 线性变换1

1.1线性变换的定义1

1.1A 附录：域的概念2

1.2线性变换的矩阵表示3

1.2.1矩阵的定义3

1.2.2矩阵的运算3

1.2.3线性变换的矩阵表示5

1.3线性变换与线性空间6

1.3.1线性变换的性质6

1.3.2矢量空间和矢量子空间6

1.3.3线性变换与矢量空间映射的定理7

1.4矢量空间的基8

1.4.1矢量的线性无关与线性相关8

1.4.2矢量空间的基与维数9

1.5线性变换与矢量空间映射的定理的明晰化11

1.6非奇异与奇异线性变换及有关定理11

1.6.1非奇异与奇异线性变换11

1.6.2线性变换的映射性质11

1.6.3非奇异线性变换的一一映射性质11

1.6.4非奇异线性变换具有逆变换12

1.6.5奇异线性变换的情况14

第2章群16

2.1非奇异线性变换总体的性质16

2.1.1非奇异线性变换具有逆变换16

2.1.2非奇异线性变换具有恒同变换16

2.1.3线性变换之积17

2.1.4线性变换的乘法满足结合律18

2.1.5非奇异线性变换的几何意义18

2.2抽象群的定义19

2.2.1定义19

2.2.2说明与例子20

2.2A附录：域的另一定义22

2.3一般线性群22

2.3.1线性变换群22

2.3.2 矩阵群23

2.3.3群的同构23

2.3.4一般线性群24

2.3.5连续群24

2.4仿射变换群24

2.4.1子群24

2.4.2仿射变换群24

2.4.3仿射变换群的子群25

2.5正交群26

2.5.1正交变换26

2.5.2转置矩阵26

2.5.3标积的定义26

2.5.4正交矩阵27

2.5.5正交变换保持标积不变27

2.5.6等价关系27

2.5.7正交群28

2.5.8刚体运动的Euclid群28

2.6幺正群29

2.6.1幺正变换29

2.6.2 Hermite矩阵29

2.6.3幺正矩阵30

2.6.4幺正变换保持标积不变30

2.6.5幺正群30

2.7置换群31

2.7.1置换的定义31

2.7.2置换矩阵31

2.7.3对称群的定义31

2.7.4置换、轮换与对换32

2.7.5对称群有关定理34

2.7.6置换群35

2.8群同构的具体例子36

第3章 行列式40

3.1行列式的定义40

3.2行列式的主要性质41

3.3行列式的展开44

3.3.1子行列式44

3.3.2行列式按行（或列）展开45

3.3.3行列式的Laplace展开47

3.3.4行列式值的计算——凝聚法49

3.4矩阵的分块运算50

3.4.1矩阵的分块乘法50

3.4.2同阶矩阵之积的行列式51

3.4.3同阶行列式的乘积52

3.4.4分块矩阵的行列式52

3.5矩阵的秩52

3.5.1秩的定义52

3.5.2满秩方阵的有关定理53

3.5.3列秩与行秩及有关定理53

3.6矩阵求逆54

3.6.1利用伴随矩阵求逆54

3.6.2利用矩阵的变换求逆55

3.6.3利用矩阵的分块运算求逆56

3.6.4逐步求近法56

3.7矩阵的迹57

3.8若干特种行列式57

3.8.1 Vandermonde行列式57

3.8.2 Jacobi行列式58

3.8.3 Wronski行列式59

3.9行列式的导数与极限60

3.9.1行列式的导数60

3.9.2行列式的极限61

第4章 线性方程组的求解62

4.1引言62

4.2 Gauss消元法63

4.2.1用消元法求数值解的例子63

4.2.2.关于数值解的讨论65

4.3 Cramer法则66

4.4迭代法67

4.4.1几种常用迭代法67

4.4.2迭代格式的矩阵形式68

4.4.3迭代收敛性69

4.4.4松弛因子的选取70

4.4.5一个例子70

习题71

第5章 矢量与张量分析73

5.1矢量与张量的定义73

5.2 Descartes张量74

5.2.1正交变换74

5.2.2 Descartes张量75

5.2.3 Descartes张量的例子76

5.3 Descartes张量的运算77

5.3.1张量的线性相加77

5.3.2张量的相等77

5.3.3零张量77

5.3.4单位张量78

5.3.5张量的缩并78

5.3.6张量的乘法78

5.3.7张量的缩乘79

5.3.8张量的导数80

5.3.9张量方程81

5.4对称和反对称张量81

5.4.1张量指标的置换81

5.4.2对称和反对称张量82

5.4.3全反对称张量·赝张量83

5.5赝Euclid张量87

5.6广义坐标变换下的张量89

5.6.1广义坐标变换89

5.6.2反变矢量90

5.6.3标量场91

5.6.4协变矢量91

5.6.5混变张量92

5.7混变张量的代数运算93

5.7.1张量的加法和减法93

5.7.2张量的缩并93

5.7.3张量的乘法94

5.7.4对称和反对称张量94

5.8度规张量95

5.8.1度规张量95

5.8.2反变度规张量95

5.8.3相伴张量96

5.8.4指标的升降96

5.8.5张量方程中的指标定则96

5.9标量密度与张量密度97

5.9.1标量密度97

5.9.2标量积分元98

5.9.3张量密度98

5.10商定律98

5.11张量的微分运算100

5.11.1矢量平移与仿射联络100

5.11.2 Levi-Civita联络101

5.11.3张量的协变导数103

5.11.4张量的协变散度105

5.11.5联络系数的变换律106

5.11.6曲率张量107

第6章 二次型和主轴变换112

6.1二次型与Hermite型112

6.1.1二次型112

6.1.2 Hermite型112

6.2主轴变换113

6.2.1主轴变换的定义113

6.2.2主轴变换的意义113

6.3本征值问题115

6.3.1本征值的确定及其性质115

6.3.2本征矢及其性质·矩阵的对角化116

6.4本征值的极值性质120

6.4.1极值原理120

6.4.2主轴变换的具体步骤121

6.4.3变分形式122

6.5 Sylvester惯性律123

习题124

第7章 线性积分方程130

7.1积分方程130

7.1.1定义和分类130

7.1.2对应无穷代数方程组130

7.2第二类积分方程的Fredholm解131

7.2.1对应代数方程组及其解法131

7.2.2 Fredholm行列式132

7.2.3 Fredholm解133

7.2.4例子135

7.3第二类积分方程的Liouville迭代解137

7.4齐次积分方程138

7.4.1有非平凡解的条件138

7.4.2看作本征值问题138

7.4.3对称核与Schmidt定理139

7.4.4本征函数的正交归一化139

7.4.5求本征值和本征矢的Aitken方法140

7.4.6齐次积分方程的本征函数系142

7.5第二类积分方程的Hilbert-Schmidt解法142

习题143

第8章 函数空间149

8.1引言149

8.1.1基本概念149

8.1.2 Schwarz不等式149

8.1.3备注150

8.2正交归一函数系150

8.2.1定义150

8.2.2线性无关性151

8.2.3完备性151

8.3 Fourier级数151

8.3.1三角函数系152

8.3.2函数的Fourier级数展开152

8.3.3 Parseval公式153

8.3.4应用例子154

8.3.5 Fourier级数的复数形式156

8.3.6二维和三维空间的情形157

8.4 Fourier变换157

8.4.1 Fourier积分157

8.4.2 Fourier积分的复数形式158

8.4.3 Fourier变换与Fourier逆变换159

8.4.4 Parseval公式159

8.4.5卷积定理161

8.4.6应用例子161

8.4.7三维空间和四维时空的情形165

8.5运用Fourier分析的条件166

8.6相关积分变换168

8.6.1 Laplace变换168

8.6.2 Mellin变换169

习题170

第9章 变分法174

9.1泛函174

9.1.1定义和例子174

9.1.2无穷个变量的函数175

9.1.3无穷维函数空间中的函数176

9.2变分法的意义176

9.2.1函数的极值问题176

9.2.2泛函的极值问题177

9.3 Euler变分方程177

9.3.1泛函的变分导数177

9.3.2 Euler变分方程·边界条件178

9.3.3含高阶导数的情形181

9.3.4几个变函数的情形182

9.3.5变函数为复函数的情形182

9.3.6几个参变量的情形183

9.4 Ritz方法184

9.5条件极值问题185

9.5.1函数的条件极值185

9.5.2泛函的条件极值185

9.5.3一般的条件极值186

9.6曲线坐标系下Laplace方程的推导186

9.6.1变分法问题186

9.6.2坐标变换187

9.6.3一般结果189

9.6.4具体例子189

9.7变分原理191

9.7.1 Hamilton正则运动方程191

9.7.2 Maxwell电磁场方程组193

9.7.3 Schrodinger波动力学方程195

9.7.4小结195

第10章 微分方程绪论197

10.1引言197

10.1.1微分方程的有关定义197

10.1.2常微分方程示例197

10.1.3偏微分方程示例198

10.2微分方程的等价问题199

10.2.1常微分方程的等价定理199

10.2.2偏微分方程的等价问题202

10.3初值问题解的存在性定理203

10.3.1存在性定理203

10.3.2简单例子205

10.3.3通解中的任意常数或任意函数207

10.3.4微分方程与差分方程207

10.4边值问题解的方法208

10.5一阶偏微分方程的一般理论210

10.6微分方程参考书211

第11章 二阶线性偏微分方程213

11.1分类和举例213

11.2抛物型微分方程的解215

11.2.1热传导方程的物理推导215

11.2.2热传导方程的一般解法215

11.2.3具体例子217

11.2.4边界条件与Green函数219

11.2.5地层的热传导问题222

11.3双曲型及椭圆型微分方程的解224

11.3.1引言224

11.3.2 D’Alembert方程的Kirchhoff公式225

11.3.3 Kirchhoff公式的证明227

11.3.4波动方程的叠加原理解法232

第12章 二阶线性常微分方程237

12.1引论237

12.1.1解的基本概念237

12.1.2降阶法238

12.1.3初值问题的另一看法239

12.1.4函数的级数表示和积分表示240

12.2复变函数论概要240

12.2.1解析函数的定义240

12.2.2函数的奇点与支点243

12.2.3解析函数的CR条件·共形映射245

12.2.4解析函数有关定理247

12.2.5解析函数的表示方法与解析延拓254

12.2.6 Г函数和B函数256

12.3常点邻域内的级数解259

12.3.1方程的奇点与常点259

12.3.2 Legendre微分方程260

12.3.3级数解法的具体步骤263

12.3.4解析延拓问题264

12.4正则奇点邻域内的正则解265

12.4.1方程的正则奇点265

12.4.2正则解的指标方程266

12.4.3超几何微分方程267

12.4.4 Legendre方程275

12.5非正则奇点邻域内的常规解282

12.5.1方程的非正则奇点282

12.5.2常规解283

12.5.3汇合型超几何方程284

12.5.4 Whittaker方程286

12.5.5 Bessel方程288

第13章 微分方程的数值解法295

13.1数值方法的重要性295

13.2 Weierstrass定理295

13.3插值法295

13.3.1多项式插值296

13.3.2三次样条插值297

13.4数值微分和积分299

13.4.1数值微分299

13.4.2数值积分300

13.5微分方程的数值解法302

13.5.1 Runge-Kutta法303

13.5.2 Adams法304

13.5.3预估校正法305

13.5.4二阶常微分方程306

13.6数值计算方法程序库307

索引308

重排后记317