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第1章 分数阶微积分基础1

1.1 一些特殊函数的定义和性质1

1.1.1 Gamma函数1

1.1.2 Beta函数2

1.1.3 Mittag-Leffler函数2

1.2 Riemann-Liouville分数阶积分和分数阶导数3

1.3 Riesz分数阶导数11

1.4 Grünwald-Letnikov分数阶导数11

1.5 Caputo分数阶导数13

1.6 分数阶算子的Fourier变换和Laplace变换15

参考文献16

第2章 空间分数阶偏微分方程的差分方法18

2.1 Grünwald-Letnikov／移位Grünwald-Letnikov近似20

2.1.1 含有移位Grünwald-Letnikov近似的显式Euler方法24

2.1.2 含有移位Grünwald-Letnikov近似的隐式Euler方法25

2.1.3 含有移位Grünwald-Letnikov近似的Crank-Nicholson方法25

2.2 移位Grünwald-Letnikov近似的稳定性和收敛性26

2.2.1 含有移位Grünwald-Letnikov近似的显式Euler方法的稳定性和收敛性26

2.2.2 含有移位Grünwald-Letnikov近似的隐式Euler方法的稳定性和收敛性29

2.2.3 含有移位Grünwald-Letnikov近似的Crank-Nicholson方法的稳定性和收敛性32

2.3 Riesz空间分数阶（对流－）扩散方程的二阶格式36

2.3.1 外推技巧36

2.3.2 Crank-Nicholson方法－分数阶中心差分格式37

2.3.3 求解Riesz空间分数阶扩散方程／Riesz空间分数阶对流－扩散方程的加权格式42

2.4 解空间分数阶偏微分方程L－算法49

2.5 解空间分数阶偏微分方程分数阶行方法52

2.6 含有空间分数阶Laplace算子的扩散方程54

2.6.1 齐次和非齐次Dirichlet边界条件的空间分数阶Laplace算子的扩散方程56

2.6.2 具有非齐次混合边界条件的空间分数阶Laplace算子的扩散方程61

2.7 复合介质中一维空间分数阶扩散方程的分析解和数值解64

2.7.1 复合介质中一维空间分数阶Laplace算子的扩散方程64

2.7.2 单一均匀介质的区域分解方法67

2.7.3 具有相同α的复合介质中的整体分析解70

2.7.4 具有相同α的复合介质中的整体数值解72

2.7.5 具有相同α的复合介质中的区域分解方法75

2.7.6 具有不同α的复合介质中的区域分解方法77

2.7.7 利用数值情况的研究给出方法的比较79

2.8 双侧空间分数阶非线性变系数扩散方程81

2.8.1 双侧空间分数阶非线性变系数扩散方程81

2.8.2 半隐式差分格式82

2.8.3 半隐式差分格式的理论分析84

2.8.4 快速迭代算法88

2.9 维空间分数阶渗透方程的有限差分方法91

2.9.1 一种隐式差分方法91

2.9.2 交替方向隐式差分方法96

2.9.3 交替方向隐式差分方法的稳定性和收敛性97

参考文献103

第3章 时间、时间－空间分数阶偏微分方程的差分方法107

3.1 分数阶积分和Caputo分数阶导数的数值近似108

3.1.1 分数阶积分的数值近似108

3.1.2 Caputo分数阶导数的数值近似112

3.2 时间、时间－空间分数阶扩散方程的差分格式116

3.2.1 差分格式的建立117

3.2.2 差分格式的稳定性和收敛性121

3.3 反常次扩散方程的隐式差分格式及其理论分析124

3.3.1 反常次扩散方程的隐式差分方法125

3.3.2 隐式差分格式的稳定性128

3.3.3 隐式差分格式的收敛性131

3.4 生物系统中分数阶非线性动力系统的反问题136

3.4.1 生物系统中分数阶非线性动力系统137

3.4.2 模拟分数阶非线性动力系统的分数阶预估－校正方法138

3.4.3 一种复合Nelder-Mead单纯形和粒子群体最佳化算法139

3.4.4 非线性分数阶动力模型中的参数估计143

参考文献145

第4章 多项时间－空间分数（分布）阶偏微分方程148

4.1 多项时间分数阶偏微分方程的解析解149

4.1.1 理论背景150

4.1.2 非齐次边界条件下的多项时间分数阶幂律波动方程151

4.1.3 特例153

4.2 多项时间－空间分数阶偏微分方程的解析解156

4.2.1 具有多项时间分数阶扩散项和空间分数阶Laplace算子的对流－扩散方程的解析解157

4.2.2 具有多项时间分数阶波动项和空间分数阶Laplace算子的对流－扩散方程的解析解160

4.2.3 具有多项时间分数阶混合扩散－波动项和空间分数阶Laplace算子的对流－扩散方程的解析解162

4.2.4 特例163

4.3 多项时间分数阶偏微分方程的数值方法164

4.3.1 二项移动／静止时间分数阶扩散方程164

4.3.2 二项时间分数阶波动－扩散方程167

4.3.3 多项时间分数阶偏微分方程的数值方法168

4.4 多项时间－空间分数阶偏微分方程的数值方法171

4.4.1 二项时间－空间分数阶偏微分方程的数值方法171

4.4.2 多项时间－空间Riesz-Caputo分数阶微分方程的最大值原理和数值方法177

4.4.3 最大值原理178

4.4.4 解的唯一性和连续依赖性182

4.4.5 数值方法182

4.5 时间分布阶的偏微分方程的数值方法185

4.5.1 紧差分格式185

4.5.2 紧差分格式的数值分析189

4.6 时间分布阶－空间分数阶扩散方程的数值方法194

4.6.1 时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散方程194

4.6.2 隐式差分方法的数值分析196

4.7 空间分布阶扩散方程的隐式差分方法202

4.7.1 一维情况下的隐式差分方法202

4.7.2 二维情况下的隐式交替方向方法205

参考文献210

第5章 变分数阶偏微分方程的差分方法214

5.1 变分数阶导数的定义214

5.2 空间变分数阶对流－扩散方程215

5.2.1 隐式差分方法215

5.2.2 显式Euler方法的稳定性和收敛性219

5.2.3 隐式Euler方法的稳定性和收敛性221

5.2.4 其他数值方法224

5.3 时间变分数阶移动／不动对流－扩散方程225

5.3.1 隐式Euler方法226

5.3.2 隐式Euler方法的稳定性227

5.3.3 隐式Euler方法的收敛性229

5.4 时间变分数阶扩散方程的数值方法230

5.4.1 时间变分数阶扩散方程的逼近格式231

5.4.2 逼近格式的稳定性233

5.4.3 逼近格式的收敛性235

5.4.4 逼近格式的可解性240

5.5 时间－空间变分数阶对流－扩散方程240

5.5.1 隐式Euler方法240

5.5.2 隐式Euler方法的稳定性243

5.5.3 隐式Euler方法的收敛性246

5.6 二维空间变分数阶偏微分方程248

5.6.1 一种隐式交替方向方法249

5.6.2 稳定性和收敛性分析251

参考文献255

第6章 分数阶偏微分方程的有限元法257

6.1 预备知识257

6.2 时间分数阶Cable方程的Galerkin有限元法261

6.2.1 时间离散的半离散格式261

6.2.2 全离散Galerkin有限元近似266

6.3 一维空间分数阶对流－扩散方程的Galerkin有限元法270

6.3.1 变分公式271

6.3.2 隐式Galerkin有限元完全离散格式272

6.3.3 稳定性和收敛性分析273

6.4 一维时间－空间分数阶扩散方程的有限元法276

6.4.1 全离散格式的稳定性分析279

6.4.2 全离散格式的误差估计281

6.5 二维空间分数阶扩散方程的Galerkin有限元方法283

6.5.1 二维分数阶导数空间和分数阶Sobolev空间283

6.5.2 变分形式288

6.5.3 全离散Galerkin有限元格式289

6.6 二维时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的有限元方法293

6.6.1 半离散格式293

6.6.2 全离散格式的收敛性296

参考文献300

第7章 分数阶偏微分方程的谱方法303

7.1 时间分数阶导数空间和Jacobi多项式303

7.1.1 时间分数阶导数空间303

7.1.2 Jacobi多项式与分数次Jacobi多项式305

7.2 时间分数阶Fokker-Planck方程的高阶空间－时间谱方法309

7.2.1 变分形式310

7.2.2 空间－时间谱方法312

7.2.3 谱方法的实现314

7.2.4 数值例子316

7.3 一维时间－空间分数阶扩散方程的高阶空间－时间谱方法320

7.3.1 时间离散322

7.3.2 空间离散323

7.3.3 算法的实现323

7.3.4 稳定性和收敛性325

7.4 二维Riesz空间分数阶非线性反应－扩散方程的Crank-Nicolson交替方向谱方法329

7.4.1 格式和实现329

7.4.2 稳定性和收敛性334

7.4.3 应用于分数阶的FitzHugh-Nagumo模型340

7.4.4 数值例子341

7.5 求解具有分数阶Laplace算子的反常扩散方程的高阶谱方法343

7.5.1 空间离散343

7.5.2 半离散问题的解345

参考文献347

第8章 有限体积方法和无网格方法350

8.1 空间分数阶对流－扩散方程的有限体积方法350

8.1.1 离散格式350

8.1.2 理论分析354

8.2 双侧空间分数阶扩散方程的一个新的分数阶有限体积方法360

8.2.1 一个新的分数阶有限体积方法360

8.2.2 分数阶有限体积方法的理论分析363

8.3 二维空间分数阶反应－扩散方程的非结构网格有限体积方法371

8.3.1 非结构网格有限体积方法373

8.3.2 预处理Lanczos方法375

8.3.3 数值例子377

8.4 径向基点插值方法380

8.5 时间分数阶扩散方程的RPCM逼近383

8.5.1 半离散格式383

8.5.2 方程的RPCM逼近384

8.5.3 算法和数值例子385

8.6 空间分数阶扩散方程的RPCM逼近388

8.6.1 支持域的选取388

8.6.2 形函数分数阶导数的计算及算法388

8.6.3 方程的RPCM逼近389

8.6.4 数值例子390

参考文献390

第9章 人类大脑组织中的反常扩散模型的数值模拟393

9.1 链接大脑的计算模拟395

9.2 分数阶Bloch方程的数值模拟399

9.2.1 分数阶Bloch方程399

9.2.2 预备知识401

9.2.3 时间分数阶Bloch方程的解析解403

9.2.4 求解时间分数阶Bloch方程的分数阶预估－校正方法403

9.2.5 求解时间分数阶Bloch方程的分数阶预估－校正方法的误差分析404

9.2.6 反常分数阶Bloch方程的隐式数值方法406

9.2.7 反常分数阶Bloch方程的隐式数值方法的稳定性408

9.2.8 反常分数阶Bloch方程的隐式数值方法的收敛性409

9.3 时间－空间Bloch-Torrey方程的数值模拟410

9.3.1 时间－空间Bloch-Torrey方程410

9.3.2 时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的隐式差分方法411

9.3.3 分数阶Bloch-Torrey方程的隐式数值方法的稳定性413

9.3.4 时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的隐式差分方法的收敛性416

9.3.5 时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的交替方向隐式差分方法418

9.3.6 时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的交替方向隐式差分方法的稳定性420

9.3.7 时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的交替方向隐式差分方法的收敛性421

参考文献424

第10章 心脏科学中非均匀介质内的分数阶模型的数值模拟427

10.1 非均匀介质中扩散过程的分数阶模型427

10.2 二维Riesz分数阶空间中的非线性反应－扩散模型430

10.2.1 隐式差分方法431

10.2.2 隐式差分方法的稳定性和收敛性432

10.2.3 隐式交替方向方法434

10.2.4 隐式交替方向法的稳定性和收敛性435

10.3 二维变分数阶非线性反应－扩散模型438

10.3.1 半隐式交替方向法439

10.3.2 半隐式交替方向法的稳定性和收敛性441

10.4 近似不规则域上的二维分数阶非线性反应－扩散模型444

10.4.1 近似不规则域上的半隐式交替方向法445

10.4.2 半隐式交替方向法的稳定性和收敛性449

10.5 数值结果452

参考文献455

索引458