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第1篇 复变函数1

第1章 复数和复变函数1

1.1 复数及其表示1

1.1.1 复数的定义1

1.1.2 复数的表示1

1.2 复数的运算及其几何意义3

1.2.1 复数的四则运算4

1.2.2 复数的乘方和方根5

1.2.3 共轭复数及其性质7

1.2.4 曲线的复数方程9

1.3 平面点集和区域9

1.3.1 复平面上的点集9

1.3.2 区域与简单曲线10

1.4 复变函数12

1.4.1 复变函数的概念12

1.4.2 曲线在映射下的像14

1.5 复球面与无穷远点16

1.5.1 复球面16

1.5.2 扩充复平面上的几个概念17

习题117

第2章 解析函数20

2.1 复变函数的极限和连续20

2.1.1 复变函数的极限20

2.1.2 复变函数的连续性22

2.2 解析函数的概念23

2.2.1 复变函数的导数23

2.2.2 解析函数的概念25

2.3 函数解析的充要条件26

2.4 解析函数的物理意义31

2.4.1 调和函数31

2.4.2 解析函数与调和函数的关系32

2.4.3 正交曲线族34

2.5 初等解析函数36

2.5.1 指数函数36

2.5.2 对数函数37

2.5.3 幂函数39

2.5.4 三角函数40

2.5.5 反三角函数与反双曲函数43

习题245

第3章 复变函数的积分48

3.1 复变函数的积分48

3.1.1 复变函数积分的概念48

3.1.2 积分的存在性及其计算公式49

3.1.3 积分的基本性质53

3.2 柯西定理54

3.2.1 柯西定理的表述与推论55

3.2.2 原函数与不定积分56

3.2.3 柯西定理的推广58

3.3 柯西积分公式60

3.4 解析函数的高阶导数63

3.4.1 解析函数的重要性质63

3.4.2 柯西不等式66

3.4.3 解析函数的等价概念67

习题368

第4章 解析函数的级数展开71

4.1 复数项级数与复函数项级数71

4.1.1 数列的极限71

4.1.2 复数项级数72

4.1.3 复函数项级数76

4.2 幂级数77

4.2.1 幂级数的概念77

4.2.2 收敛圆与收敛半径78

4.2.3 幂级数的运算和性质80

4.3 泰勒级数82

4.3.1 解析函数的泰勒展开式82

4.3.2 初等函数的泰勒展开式85

4.4 罗朗级数88

4.5 孤立奇点96

4.5.1 可去奇点96

4.5.2 极点97

4.5.3 本性奇点100

4.5.4 函数在无穷远点的性态101

习题4103

第5章 留数及其应用107

5.1留 数的概念与计算107

5.1.1 留数的概念及留数定理107

5.1.2 留数的计算108

5.1.3 在无穷远点的留数113

5.2 留数在定积分计算中的应用118

5.2.1 计算 ？R(cos x,sin x）dx型积分119

5.2.2 计算？dx型积分121

5.2.3 计算 ？(x)e？dx型积分123

5.3 对数留数与辐角原理128

5.3.1 对数留数129

5.3.2 辐角原理130

5.3.3 儒歇定理132

习题5135

第6章 保角映射138

6.1 保角映射的概念138

6.1.1 导数的几何意义138

6.1.2 保角映射的概念140

6.2 分式线性映射142

6.2.1 分式线性映射142

6.2.2 分式线性映射的性质144

6.2.3 3类典型的分式线性映射147

6.3 几个初等函数所构成的映射152

6.3.1 幂函数与根式函数153

6.3.2 指数函数与对数函数155

6.3.3 儒可夫斯基函数160

习题6163

第2篇 积分变换166

第7章 傅里叶变换166

7.1 傅里叶积分公式167

7.1.1 傅里叶级数167

7.1.2 傅里叶积分公式169

7.2 傅里叶变换172

7.2.1 傅里叶变换的定义172

7.2.2 余弦与正弦傅里叶变换176

7.3 广义傅里叶变换177

7.3.1 δ函数177

7.3.2 δ函数的性质179

7.3.3 基本函数的广义傅里叶变换182

7.4 傅里叶变换与逆变换的性质184

7.4.1 傅里叶变换的基本性质184

7.4.2 傅里叶变换的卷积与卷积定理191

习题7193

第8章 拉普拉斯变换196

8.1 拉普拉斯变换的概念196

8.1.1 拉普拉斯变换的存在性196

8.1.2 常用函数的拉普拉斯变换199

8.1.3 拉普拉斯变换的积分下限203

8.2 拉普拉斯变换的性质204

8.3 拉普拉斯逆变换213

8.3.1 复反演积分公式213

8.3.2 利用留数定理求像原函数214

8.4 拉普拉斯变换的卷积与卷积定理216

8.5 拉普拉斯变换解常微分方程定解问题218

8.5.1 常微分方程初始值问题219

8.5.2 常微分方程组的初始值问题219

8.5.3 常微分方程的边值问题220

8.5.4 积分微分方程定解问题221

习题8221

习题答案225

习题1225

习题2226

习题3228

习题4228

习题5231

习题6232

习题7233

习题8234

附录236

附录1 傅氏变换简表236

附录2 拉氏变换简表243