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第1章 变分法1

1.1 泛函和泛函的极值问题1

1.1.1 泛函的概念1

1.1.2 泛函的极值问题2

1.2 泛函的变分和最简单情形的欧拉方程5

1.2.1 泛函的变分5

1.2.2 最简单情形的欧拉方程9

1.3 多个函数和多个自变量的情形13

1.3.1 多个函数13

1.3.2 多个自变量15

1.4 泛函的条件极值问题17

1.4.1 等周问题17

1.4.2 测地线问题21

1.5 自然边界条件23

1.6 变分原理26

1.6.1 经典力学的变分原理27

1.6.2 量子力学的变分原理32

1.7 变分法在物理学中的应用33

1.7.1 在经典物理中的应用34

1.7.2 在量子力学中的应用41

习题47

附录1A 函数的极值问题50

参考文献52

第2章 希尔伯特空间53

2.1 线性空间、内积空间和希尔伯特空间53

2.1.1 线性空间53

2.1.2 内积空间58

2.1.3 希尔伯特空间67

2.2 内积空间中的算子69

2.2.1 算子与伴随算子69

2.2.2 自伴算子76

2.2.3 非齐次线性代数方程组有解的择一定理83

2.3 完备的正交归一函数集合84

2.3.1 收敛的类别84

2.3.2 函数集合的完备性86

2.3.3 N维数域空间和希尔伯特函数空间90

2.3.4 正交多项式91

2.4 魏尔斯特拉斯定理与多项式逼近95

2.4.1 魏尔斯特拉斯定理95

2.4.2 多项式逼近97

习题103

附录2A 数e不是一个有理数的证明107

参考文献108

第3章 二阶线性常微分方程109

3.1 二阶线性常微分方程的一般理论109

3.1.1 解的存在唯一性定理109

3.1.2 齐次方程解的结构110

3.1.3 非齐次方程的解116

3.2 施图姆－刘维尔型方程的特征值问题119

3.2.1 施图姆－刘维尔型方程的形式119

3.2.2 施图姆－刘维尔方程的边界条件120

3.2.3 施图姆－刘维尔特征值问题122

3.2.4 施图姆－刘维尔特征值问题举例127

3.3 施图姆－刘维尔型方程的多项式解集129

3.3.1 核函数和权函数的可能的形式129

3.3.2 多项式的级数表达式和微商表示133

3.3.3 母函数关系139

3.3.4 正交的施图姆－刘维尔多项式解集的完备性定理141

3.3.5 正交多项式解集在数值积分中的应用142

3.4 与多项式的施图姆－刘维尔系统有关的方程和函数145

3.4.1 拉盖尔函数145

3.4.2 勒让德函数149

3.4.3 切比雪夫函数154

3.4.4 厄米函数158

3.5 切比雪夫双曲函数165

3.5.1 微分方程的建立165

3.5.2 微分方程的求解166

3.6 二阶常微分方程的复变函数理论169

3.6.1 齐次线性方程组的解169

3.6.2 二阶常微分方程181

3.7 非自伴的二阶常微分方程187

3.7.1 常微分方程的伴随方程187

3.7.2 施图姆－刘维尔算子188

3.7.3 非自伴二阶常微分方程的完备集191

3.8 非齐次方程有解的条件192

习题196

附录3A 初值问题（3.1.4）的解的存在唯一性的证明201

附录3B 重求和中变量的代换204

附录3C 关于施图姆－刘维尔理论向狄拉克型方程的推广204

参考文献205

第4章 贝塞尔函数207

4.1 贝塞尔方程207

4.1.1 贝塞尔方程及其解207

4.1.2 第一类和第二类贝塞尔函数213

4.2 贝塞尔函数的基本性质216

4.2.1 贝塞尔函数的递推公式216

4.2.2 贝塞尔函数的渐近式219

4.2.3 贝塞尔函数的零点219

4.2.4 朗斯基行列式222

4.3 整数阶贝塞尔函数223

4.3.1 奇偶性和特殊点的值224

4.3.2 整数阶贝塞尔函数的母函数225

4.4 半奇数阶贝塞尔函数229

4.5 第三类贝塞尔函数和球贝塞尔函数232

4.5.1 第三类贝塞尔函数232

4.5.2 球贝塞尔函数236

4.6 虚变量（或变形）贝塞尔函数241

4.6.1 第一类和第二类变形的贝塞尔函数241

4.6.2 整数阶变形贝塞尔函数246

4.6.3 半奇数阶变形贝塞尔函数248

4.7 变量为实数的贝塞尔函数248

4.7.1 贝塞尔方程的特征值问题248

4.7.2 特征函数族的性质250

4.7.3 球贝塞尔方程的特征值问题254

习题255

附录4A Γ（z）函数的导数与ψ（z）函数261

附录4B 第二类贝塞尔函数表达式263

参考文献265

第5章 狄拉克δ函数267

5.1 δ函数的定义与性质267

5.1.1 δ函数的定义267

5.1.2 函数是一个广义函数268

5.1.3 δ函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换269

5.1.4 广义函数的导数和积分270

5.1.5 δ函数中的定值是个复数的情况272

5.2 δ函数视为普通函数的弱收敛极限273

5.2.1 普通函数的弱收敛的几种形式273

5.2.2 证明式（5.2.7a）的弱收敛极限是δ函数277

5.2.3 证明式（5.2.9b）的弱收敛极限是δ函数277

5.2.4 证明式（5.2.11）的弱收敛极限是δ函数279

5.2.5 立用举例280

5.3 多维空间中的δ函数282

5.3.1 直角坐标系282

5.3.2 直角坐标系到曲线坐标系的变换283

5.4 δ函数的广义傅里叶展开286

习题290

参考文献292

第6章 格林函数294

6.1 格林函数的基本理论294

6.1.1 格林函数的定义294

6.1.2 格林函数的作用和性质295

6.1.3 格林函数的求解方法297

6.1.4 格林函数的物理意义303

6.2 拉普拉斯算子的基本解305

6.2.1 三维情况307

6.2.2 二维情况308

6.2.3 一维情况310

6.3 阻尼振子的格林函数312

6.3.1 齐次方程的解312

6.3.2 求解格林函数313

6.3.3 方程的通解314

6.3.4 无阻尼的情况314

6.3.5 边界条件对格林函数的影响315

6.4 二阶常微分方程的格林函数316

6.4.1 格林函数的对称性317

6.4.2 二阶微分方程边值问题的解318

6.4.3 广义格林函数320

6.4.4 求解二阶微分方程边值问题的实例326

6.5 高维空间的格林函数333

6.5.1 二阶微分方程与格林函数333

6.5.2 二维格林函数求解实例336

6.5.3 三维格林函数求解实例351

6.5.4 光的小孔衍射354

6.5.5 三维空间中粒子散射的问题362

6.6 镜像法求解格林函数363

6.6.1 镜像法的基本理论363

6.6.2 二维空间实例366

6.6.3 三维空间实例371

6.7 一阶微分方程的格林函数373

6.7.1 非齐次方程边值问题373

6.7.2 齐次方程边值问题373

6.7.3 非齐次方程与格林函数374

6.7.4 边值问题的通解375

6.8 非自伴微分方程的格林函数376

6.8.1 伴随格林函数376

6.8.2 非齐次微分方程的解378

习题379

参考文献382

第7章 范数383

7.1 巴拿赫空间383

7.1.1 巴拿赫空间383

7.1.2 赫尔德不等式386

7.1.3 闵可夫斯基不等式389

7.2 向量范数390

7.2.1 向量范数390

7.2.2 量范数的等价性393

7.3 矩阵范数394

7.3.1 矩阵范数394

7.3.2 矩阵的谱范数和谱半径400

7.3.3 矩阵测度403

7.4 算子范数407

7.4.1 算子的范数407

7.4.2 伴随算子411

7.4.3 投影算子414

7.5 全连续算子417

7.5.1 线性积分变换用有限秩线性积分变换逼近417

7.5.2 全连续算子419

习题424

参考文献426

第8章 积分方程428

8.1 积分方程的基础理论428

8.1.1 积分方程的定义和分类428

8.1.2 积分方程与微分方程的关系430

8.1.3 关于齐次积分方程的理论433

8.2 线性积分方程的迭代技术437

8.2.1 弗雷德霍姆线性积分方程437

8.2.2 沃尔泰拉线性积分方程447

8.3 非线性方程的迭代技术448

8.3.1 迭代步骤448

8.3.2 利普希茨条件450

8.3.3 利用收缩的概念452

8.3.4 弹簧的非谐振动453

8.4 退化核的弗雷德霍姆线性积分方程455

8.4.1 可分核455

8.4.2 有限秩核462

8.4.3 核按特征系的展开471

8.5 卷积型积分方程的求解473

8.5.1 弗雷德霍姆卷积型积分方程473

8.5.2 沃尔泰拉卷积型积分方程476

8.6 多项式类型的积分方程479

8.6.1 只含多项式的弗雷德霍姆积分方程的解法479

8.6.2 母函数法481

习题483

参考文献488

第9章 数论在物理逆问题中的应用490

9.1 陈－莫比乌斯变换490

9.1.1 引言490

9.1.2 莫比乌斯变换492

9.1.3 陈－莫比乌斯变换497

9.2 晶体中声子态密度的逆问题500

9.2.1 逆变换公式500

9.2.2 低温近似502

9.2.3 高温近似505

9.3 晶体内原子间相互作用势的逆问题507

9.3.1 一维情况508

9.3.2 二维情况512

9.3.3 三维情况516

9.4 加性莫比乌斯变换及其应用523

9.4.1 函数的加性莫比乌斯变换及其应用523

9.4.2 数列的加性莫比乌斯变换及其应用529

9.5 与表面和界面有关的对势反演问题532

9.5.1 孤立原子与半无限大晶体内原子的对势532

9.5.2 晶体表面原子弛豫534

9.5.3 界面原子间作用势的逆问题535

习题539

附录9A 黎曼ζ函数的数值541

附录9B 倒易系数的计算543

参考文献544

第10章 任意维空间的基本方程547

10.1 任意维欧几里得空间547

10.1.1 直角坐标系与球坐标系547

10.1.2 梯度、散度和拉普拉斯算子551

10.2 拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程的格林函数553

10.2.1 拉普拉斯方程的格林函数553

10.2.2 亥姆霍兹方程的格林函数555

10.3 有心势下的径向方程557

10.3.1 高维空间有心势下的径向方程557

10.3.2 亥姆霍兹方程558

10.3.3 无限深球方势阱559

10.3.4 有限深球方势阱560

10.3.5 库仑势561

10.3.6 谐振子势563

10.3.7 两项负幂次分子势565

10.3.8 正负幂次分子势566

10.3.9 指数衰减吸引势566

10.3.10 径向方程具有解析解的条件567

10.4 角向方程的解568

10.4.1 四维空间569

10.4.2 五维空间573

10.4.3 N维空间574

10.4.4 总角动量的线性无关分量577

10.5 赝球坐标系580

10.5.1 四维空间赝球坐标系580

10.5.2 拉普拉斯方程的解581

10.5.3 五维和六维空间584

10.6 非欧几里得空间585

10.6.1 度规张量585

10.6.2 五维闵可夫斯基空间和四维德西特空间589

习题596

附录10A 超几何方程与超几何函数598

参考文献599

外国人名英汉对照表600

索引602