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第1章 线性方程组1

1.1 线性方程组1

1.1.1 线性方程组的基本概念1

1.1.2 矩阵记号2

1.1.3 线性方程组的一般解法4

1.2 线性方程组解的判定10

1.3 向量组的线性相关性16

1.3.1 n维向量的定义17

1.3.2 向量的线性运算17

1.3.3 向量组的线性组合18

1.3.4 向量组的线性相关性19

1.4 向量组的秩23

1.4.1 极大线性无关组24

1.4.2 向量组的秩25

1.5 线性方程组解的结构27

1.5.1 齐次线性方程组Ax=0解的结构27

1.5.2 非齐次线性方程组Ax=b解的结构32

1.6 应用案例37

1.6.1 配方问题37

1.6.2 平衡价格问题39

1.6.3 剑桥减肥食谱问题40

1.7 数学实验1——线性方程组的MATLAB实验41

1.7.1 矩阵的初等变换41

1.7.2 向量组的线性相关性42

1.7.3 线性方程组求解44

总习题一49

第2章 矩阵53

2.1 矩阵的运算53

2.1.1 矩阵的加法运算53

2.1.2 矩阵的数乘运算54

2.1.3 矩阵的乘法运算55

2.1.4 方阵的幂56

2.1.5 矩阵的转置57

2.2 逆矩阵58

2.2.1 逆矩阵的概念58

2.2.2 逆矩阵的性质60

2.2.3 初等矩阵60

2.2.4 利用初等变换求矩阵的逆63

2.2.5 求解矩阵方程66

2.3 应用案例67

2.3.1 选举问题67

2.3.2 失业问题68

2.4 数学实验2——矩阵的MATLAB实验70

2.4.1 矩阵的运算70

2.4.2 矩阵求逆72

总习题二73

第3章 行列式76

3.1 行列式的概念76

3.1.1 二阶行列式76

3.1.2 三阶行列式78

3.1.3 n阶行列式80

3.2 行列式的性质84

3.3 克莱姆法则92

3.4 矩阵与行列式95

3.4.1 方阵的行列式95

3.4.2 矩阵求逆96

3.4.3 矩阵的子式98

3.5 应用案例99

3.5.1 联合收入问题99

3.5.2 投入产出问题101

3.5.3 工程问题102

3.6 数学实验3——行列式的MATLAB实验104

总习题三108

第4章 特征值与特征向量114

4.1 向量的内积114

4.1.1 向量的内积114

4.1.2 正交向量组与标准正交基115

4.1.3 正交矩阵与正交变换117

4.2 特征值与特征向量119

4.2.1 特征值与特征向量的概念119

4.2.2 特征值与特征向量的性质120

4.3 方阵的对角化122

4.3.1 相似矩阵的概念与性质122

4.3.2 方阵的对角化122

4.4 应用案例125

4.4.1 人员流动问题126

4.4.2 遗传基因问题128

4.5 数学实验4——特征值与特征向量的MATLAB实验129

总习题四132

第5章 二次型135

5.1 二次型及其矩阵135

5.1.1 二次型的概念135

5.1.2 矩阵的合同137

5.2 二次型的标准形138

5.2.1 用正交变换化二次型为标准形138

5.2.2 用初等变换化二次型为标准形139

5.2.3 用配方法化二次型为标准形140

5.2.4 二次型与对称矩阵的规范形141

5.3 正定二次型142

5.3.1 二次型的有定性142

5.3.2 正定矩阵的判别法143

5.4 应用案例145

5.5 数学实验5——二次型的MATLAB实验147

总习题五149

附录 MATLAB软件简介151

习题参考答案153

总习题一答案153

总习题二答案155

总习题三答案156

总习题四答案157

总习题五答案158

参考文献160